线性代数证明题怎么做9.(3)

Question

如题所述

Answer 1

本题要证明充要条件。

首先，我们来看充分条件
r（A）＜n-1 ----→ r（A*）=0
证：若r（A）＜n-1 ，则 A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，
即A*=0，故 r（A*）=0

其次，我们来看必要条件
r（A*）=0 ----→r（A）＜n-1
证：若 r（A*）=0，则 A*中所有元素均为0，行列式|A|所有元素的代数余子式均为0，
即A中所有n-1阶子式均为0，故r（A）＜n-1

综上所述 r（A*）=0的充要条件是r（A）＜n-1

（理解什么是矩阵A的伴随矩阵 A*是解答本题的关键）

希望对你有所帮助。