初中的数学题

Question

如图，二次函数y=ax平方中，有一点p（2，2）
点A B D在函数上 ，ABCD为平行四边形，A的横坐标为t，B的横坐标为t+1，AD与x轴平行，当AC和BD的交点为E时，回答下列问题。（t＞0）
（1）求a的值
（2）用t表示C的坐标
（3）用t表示EAB的面积
（4）PAB与EAB面积相等时，求t的值.

Answer 1

解：（1）因P（2,2）点在函数上，将P点坐标带入函数得 2=4a ,所以a=1/2 。二次函数为y=(1/2)x

（2）因ABCD为平行四边形,所以AD//CB,又因AD平行X轴，所以CB也平行于X轴，因此C点和B点的纵坐标相等，Yc=Yb=(1/2)(t+1)²=(1/2)t²+t+1/2

 因AD平行于X轴，A、D都在偶函数y=(1/2)x²上，所以A、D两点的横坐标关于Y轴对称，Xd=-Xa=-t , A、B的水平距离和C、D的水平距离相等为Lab=Xb-Xa=Xc-Xd=Lcd

Xc-(-t)=(t+1)-t=1 ,所以Xc=1-t ,所以C点的坐标：C[1-t ,(1/2)t²+t+(1/2)]

(3)根据平行四边形对角线四等分平行四边形这个性质可知S△EAB=(1/4)S平行四边形ABCD

=(1/4)|AD|*H （H为平行四边形的高）

|AD|=Xa-Xd=t-(-t)=2t ,H=Yb-Ya=(1/2)t²+t+1/2-(1/2)t²=t+1/2

所以S△EAB=(1/4)*2t*(t+1/2)=(1/2)t²+(1/4)t 

（4）连接PA、PB，分别做P、A、B垂直于X轴于P' ,A' ,B'  

①假设当t>2时（P点在A点左侧）

S△PAB=S梯形PP'B'B-S梯形PP'A'A-S梯形AA'B'B

S梯形PP'B'B=(1/2)(PP'+BB')*P'B'=(1/2)(Yp+Yb)(Xb-Xp)=(1/2)[2+(1/2)t²+t+1/2]*(t+1-2)

=(1/4)t³+(1/4)t²+(3/4)t-5/4

S梯形PP'A'A=(1/2)(PP'+AA')*P'A'=(1/2)(Yp+Ya)*(Xa-Xp)=(1/2)[2+(1/2)t²]*(t-2)

=(1/4)t³-(1/2)t²+t-2

S梯形AA'B'B=(1/2)(AA'+BB')*A'B'=(1/2)(Ya+Yb)(Xb-Xa)=(1/2)[(1/2)t²+(1/2)t²+t+1/2]*(t+1-t)=(1/2)t²+(1/2)t+1/4

所以S△PAB=S梯形PP'B'B-S梯形PP'A'A-S梯形AA'B'B=(1/4)t²-(3/4)t+1/2

当S△PAB=S△EAB时：(1/4)t²-(3/4)t+1/2=(1/2)t²+(1/4)t 

解得t=√(6) -2（与假设不成立舍去）或t=-√(6) -2<0(与题干t>0不成立，舍去）

②假设当t<2<t+1（P点在A、B点之间）.......................求出t值

③假设当t+1<2时（P点在B的右侧），求出t值

Answer 2

Answer 3

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Answer 4

这个其实很简单

Answer 5

（1）1/2
（2）1/2*（2-2*t, t^2+2*t+1）
（3）考虑这样的算法：
先表示出平行四边形的面积，再表示出三角形AED的面积。
S平行四边形=2*t^2+t;
S三角形AED=(2*t^2+t)/4;
故S三角形EAB=1/2*S平行四边形-S三角形AED=(2*t^2+t)/4=S三角形AED
（4）要求的是PAB与EAB面积相等的情况，此时我们不妨设AB为三角形的底，计算高：
直线AB满足这样的关系式：y=(t+1/2)*x-(t^2+t)/2
点P到AB的距离为d1=|t^2/2-3*t/2+1|/sqrt((t+1/2)^2+1)
点E到AB的距离为d2=|t^2+t/2|/sqrt((t+1/2)^2+1)
故有d1=d2，即|t^2/2-3*t/2+1|=|t^2+t/2|
分段求解，得：
x1=-2+sqrt(6)
x2=-2-sqrt(6)
x3=1/3+sqrt(5*i)/3
x4=1/3-sqrt(5*i)/3
所以t={x1,x2,x3,x4}