使用生成函数求解递推关系ak=a(k-1)+2a(k-2)+k^2，初始条件a0=4和a1=12

Question

如题所述

Answer 1

ak=a<k-1>+2a<k-2>+k^2,①
a0=4,a1=12
∴a2=a1+2a0+4=12+8+4=24,
a3=a2+2a1+9=24+24+9=57.
a4=a3+2a2+16=57+48+16=121.
a<k+1>=ak+2a<k-1>+(k+1)^2,②
②-①，a<k+1>-ak=ak+a<k-1>-2a<n-2>+2k+1,
∴a<k+1>=2ak+a<k-1>-2a<k-2>+2k+1,③
a<k+2>=2a<k+1>+ak-2a<k-1>+2k+3,④
仿上，④-③，a<k+2>=3a<k+1>-ak-3a<k-1>+2a<k-2>+2,⑤
a<k+3>=3a<k+2>-a<k+1>-3ak+2a<k-1>+2,⑥
⑥-⑤，a<k+3>=4a<k+2>-4a<k+1>-2ak+5a<k-1>-2a<k-2>,
它的特征方程是x^5-4x^4+4x^3+2x^2-5x+2=0,
(x-2)(x-1)^3(x+1)=0,
解得x1=2,x2=-1,x3,4,5=1.
∴an=m*2^n+p*(-1)^n+qn^2+bn+c,
把前5项的值代入，得5元1次方程组，解方程组得m,p,q,b,c的值，就得到an的表达式。计算从略。