急~！！关于中值定理的问题~！

Question

1.验证洛尔定理对函数 y = ln sinx 在区间[п/6,5п/6]上的正确性

2.验证拉格朗日中值定理对函数 y = 4x^3 - 5 x^2 + x - 2 在区间[0,1]上的正确性

Answer 1

因为，在区间[п/6,5п/6]上，恒有sinx > 0
所以, 在区间[п/6,5п/6]上 lnsinx 连续;
又，令u=sinx
而（п/6,5п/6）∈(0,+∞)，根据lnu在定义区间上连续且可导，
所以，lnsinx在（п/6,5п/6）上连续且可导;
令a=п/6,b=5п/6
因为，sina=1/2,sinb=1/2
所以ln(sina) = ln(sinb);
设f(x)=ln(sinx)-ln(sin1/2)
易知，f(a)=f(b)=0，且f(x)这个初等函数在[п/6,5п/6]连续，在（п/6,5п/6）可导。( 这已经满足了洛尔定理的三个条件，可以至此得可以运用中值定理，非要证明可以如下)
设M=f(m),m∈（п/6,5п/6），令M是f(x)在[п/6,5п/6]的最值。
则M可能的取值情况有：M=f(a)=f(b)=0,或者M>f(a)=f(b)=0,或者M<f(a)=f(b)=0,
先讨论第二种情况：
(M-f(x))/(M-x) > 0 (x从左边趋于m)
(M-f(x))/(M-x) < 0 (x从右边趋于m)
然而,f(x)在m点可导，左右导数必定相等
故，在x=m处，f'(x) = 0。
同理，情况3可得在m点处，f'(x) = 0
对于情况1，易知在（п/6,5п/6）上的每一点都使得f'(x) = 0
综上所述，在（п/6,5п/6）存在一点x使得f(x)= f(a)=f(b)=0，跟洛尔中值定理结论相同。
所以，函数 y = ln sinx 在区间[п/6,5п/6]上使得洛尔定理成立。