设x+z=yf(x^2-z^2),证明z乘以z对x的偏导加y乘以z对y的偏导=x

Question

如题所述

Answer 1

1、本题的解答方法是：

      A、运用隐函数、复合函数的链式求导法则；

            链式求导法则 = chain rule

      B、代入 z 对 x、y 的偏导后，化简即可。

2、具体解答过程如下。

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Answer 2

z对x的一阶偏导：yf′(x/y)
·1/y+g(y/x)+xg′(y/x)·(-y/x^2)
=
f′(x/y)+g(y/x)-(y/x)
·g′(y/x)
z对x的二阶偏导:f′′(x/y)/y-(y/x^2)g′(y/x)+(y/x^2)g′(y/x)+(y^2/x^3)
·g′′(y/x)=f′′(x/y)/y+(y^2/x^3)·g′′(y/x)
z对x,y的混合偏导:(-x/y^2)·f′′(x/y)+g′(y/x)/x-g′(y/x)/x-(y/x^2)·
g′′(y/x)
=
(-x/y^2)·f′′(x/y)-(y/x^2)·
g′′(y/x)
∴
x×（z的x的二阶偏导）+y×（z的x,y的混合偏导）
=
x/yf′′(x/y)+(y^2/x^2)·g′′(y/x)-(x/y^)·f′′(x/y)-(y^2/x^2)·
g′′(y/x)=0
如果你会复合函数求导，理解了偏导数的定义，应该不难。