直四棱柱 的底面 是菱形， ，其侧面展开图是边长为 的正方形. 、 分别是侧棱 、 上的动点， ．

Question

直四棱柱 的底面 是菱形， ，其侧面展开图是边长为 的正方形. 、 分别是侧棱 、 上的动点， ． (Ⅰ)证明： ； (Ⅱ) 在棱 上，且 ，若 ∥平面 ，求 .

Answer 1

直四棱柱 的底面 是菱形， ，其侧面展开图是边长为 的正方形. 、 分别是侧棱 、 上的动点， ． (Ⅰ)证明： ； (Ⅱ) 在棱 上，且 ，若 ∥平面 ，求 .

(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)2

本题考查了线线、线面的垂直和平行的定理应用，如何实现线线和线面垂直和平行的转化；求多面体体积时常用分割法求，注意几何体的高． （1）由题意知AC⊥BD，AA 1 ⊥平面ABCD得BD⊥平面AA 1 C 1 C，再证BD⊥EF； （2）由EF∥平面PBD得EF∥PO，再由题意构造中位线得QC∥PO，证出EFCQ为平行四边形再由题意求CF； 解：⑴连接 ，因为 是菱形，所以 ， 因为 是直四棱柱， ， ，所以 ，因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ……6分． ⑵ 连AC交BD与O，因为 平面 ，所以EF//PO 取 中点 ，则 ，所以 ，所以 为平行四边形， 则 ，从而 …12分