f(x)在a点处展开的泰勒公式是：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+...+f[n](a)(x-a)^n/n!+Rn(x)
（f[n](x)表示f(x)的n阶导函数）
拉格朗日余项Rn(x)=f[n+1](a+θ(x-a))*(x-a)^(n+1)/(n+1)!
如果希望按照(x+1)的幂展开，就是令上面中的a=-1，上面的泰勒展开公式和拉格朗日余项将分别变成：
f(x)=f(-1)+f'(-1)(x+1)/1!+f''(-1)(x+1)²/2!+...+f[n](-1)(x+1)^n/n!+Rn(x)①
Rn(x)=f[n+1](θ(x+1)-1)*(x+1)^(n+1)/(n+1)!②
现已知f(x)=1/x，也即：f(x)=x^(-1)，其各阶导函数是：
f'(x)=(-1)x^(-2)=(-1)(1!)x^(-2)
f''(x)=(-1)(-2)x^(-3)=(-1)²(2!)x^(-3)
f[3](x)=(-1)(-2)(-3)x^(-4)=(-1)³(3!)x^(-4)
...
f[n](x)=(-1)^n*(n!)*x^(-(n+1))③
如果令其中的x=-1，则对任意k阶导数，都有：
f[k](-1)=(-1)^k*(k!)*(-1)^(-(k+1))=(k!)(-1)^(k-(k+1))=-n!
即：f[k](-1)/(k!)=-1都是常数，与k无关。
所以公式①中各个相加的单项式中，除了首项f(-1)和尾项Rn(x)之外，
其余的每个单项式中，分子的导数部分与分母的阶乘部分正好相约成-1，于是公式①可简化成：
f(x)=f(-1)-(x+1)-(x+1)²-(x+1)³...-(x+1)^n+Rn(x)
=-1-(x+1)-(x+1)²-(x+1)³...-(x+1)^n+Rn(x)
其中的Rn(x)，通过③式所示通项公式，也可由公式②简化为：
Rn(x)=(-1)^(n+1)(θ(x+1)-1)^(-(n+2))*(x+1)^(n+1)
求极限基本方法有
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；
3、运用两个特别极限；
4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。