高数积分与路径无关的问题

Question

∫【（1，0）（2，1）】（2xy-y∧4+3）dx+（x²-4xy³）dy

跪求详细解，感激不尽

Answer 1

选折线路径
L1：y=0，x：1→2
L2：x=2，y：0→1
原式=∫(L1) (2xy-y^4+3) dx + (x²-4xy³) dy + ∫(L2) (2xy-y^4+3) dx + (x²-4xy³) dy
=∫[1→2] 3 dx + ∫[0→1] (4-8y³) dy
=3 + (4y-2y^4) |[0→1]
=5

【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。

Answer 2

P=2xy-y∧4+3，Q=x²-4xy³
∂Q/∂x=2x-4y³=∂P/∂y,故积分与路径无关
选取折线路径：(1,0)L1→(1,1)L2→(2,1)
∫（2xy-y∧4+3）dx+（x²-4xy³）dy=∫L1+∫L2
=∫(0,1)(1-4y³)dy+∫(1,2)(2x+2)dx
=0+8-3=5

Answer 3

可以先求原函数，u = (x² y - x y^4 + 3x)
（2 x y﹣y^4+3）dx +（x²﹣4 x y³）dy = d(x² y - x y^4 + 3x)
原式 = u(2,1) ﹣u (1,0) = 8﹣3 = 5