高数 与路径无关的曲线积分

Question

计算I=S（2xy^3-y^2cosx）dx+(1-2ysinx+3x^2y^2)dy,其中积分路径是抛物线2x=πy^2从点O(0，0)到点A（π/2,1）的弧段 球此题计算过程。。请对于（2xy^3-y^2cosx）dx 与 （1-2ysinx+3x^2y^2）dy 这两个积分函数在计算中的变化详细说明

Answer 1

令P=2xy^3-y^2cosx，Q=1-2ysinx+3x^2y^2，

因为P’y=Q’x=6xyy-2ycosx，所以这个曲线积分与路径无关。

既然与路径无关，就可以把原来的红色积分路径L改为新的积分路径如下：

绿色积分路径L1+黄色积分路径L2，

其中，L1：y=0，x从0到Π/2；L2：x=Π/2，y从0到1。

即，原式=∫L1。。。+∫L2。。。

在L1上，

因为y=0，所以P=0，并且dy=0，所以∫L1。。。=0。

在L2上，

因为x=Π/2是确定不变的，所以积分中的Pdx这部分由于dx=0而=0，

于是∫L2。。。=0+∫（0到1）（1-2ysinΠ/2+3*Π/2*Π/2*yy）dy

=∫（0到1）（1-2y+ yy 3ΠΠ/4）dy=ΠΠ/4。