【高数】设函数f(x)在实轴上连续，f'(0)存在，且具有性质f(x+y)=f(x)f(y),试求出f(x)

Question

如题

Answer 1

f(0+0)=f(0)*f(0), f(0)=0 or 1 因为f(x)连续，所以f(x+dx)-f(x)=f(x)f(dx)-f(x)=f(x)(f(dx)-1) f(x)(f(dx)-1)趋向于f(x)(f(0)-1)，任取x，此式应趋向于0，因此f(0)=1（这段你要证明的话用极限定义，不要先取前面的趋向于f(x)(f(0)-1)） 随后，由f(x+dx)-f(x)=f(x)(f(dx)-1)两边除以dx，并且因为f(x)在0点可导，f'(x)=f(x)f'(0)，推出f(x)=f'(0)x+c，c为常数，由f(0)=1代入，得c=1。 同时f(x-x)=f(x)f(-x)=1，则f'(0)=0 因此f(x)=1，常值函数 追问： “f'(x)=f(x)f'(0)，推出f(x)=f'(0)x+c “ 好像这步有错啊 好象应该是f^(x)=c*e^(f'(0)x)吧？ 回答： 汗错了 从这里开始:因为f(x)在0点可导，f'(x)=f(x)f'(0)，推出df(x)/f(x)=f'(0)*dx,由x从0-1的 定积分 lnf(x)=f'(0)x,f(x)=e^(f'(0)x) 补充： 定积分 不用c了 刚才没注意突然想起来了…… 这个指数式无法确定f'(0)的确切值嘛