求特征值和特征向量

Question

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Answer 1

基本概念与结论

定义1　设是数域上的一个向量空间， 是 上的一个线性变换，，如果存在非零向量，使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。

命题1　设是数域上的一个维向量空间，是的一个基，是上的一个线性变换，它在此基下的矩阵为。若是的属于特征值的一个特征向量，则是齐次线性方程组的一个非零解且有；反之，若且是齐次线性方程组的一个非零解，则是的属于特征值的一个特征向量。

定义2　设为数域上的阶矩阵，，如果存在非零向量，使得，就称是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量。

定义3　设矩阵，则称为矩阵的特征多项式，称为的特征矩阵，称为的特征方程。阶矩阵的特征多项式是的次多项式。在复数域上的根称为特征根。

定理1　相似矩阵具有相同的特征多项式，从而特征值也相等。反之未必成立。如与有相同的特征值，但它们不相似。

定义4　设是数域上维向量空间上的一个线性变换，称关于的任一个基下的矩阵的特征多项式为线性变换的特征多项式。

定理2　设是数域上维向量空间上的一个线性变换，，则是的一个特征值的充要条件是：是的特征多项式的一个根。

定理3　设，则是的一个特征值的充要条件是：是的特征多项式的一个根。

定理4　若和都是的属于特征值的特征向量，则也是的属于特征值的特征向量（其中）。

定义5　设是矩阵的一个特征值，称齐次线性方程组的解空间为的关于特征值的特征子空间，记作。阶矩阵的特征子空间是维向量空间的子空间，它的维数为秩。

定理5　设的个特征根为的特征多项式为，则：

　　(1) ；

　　(2) ；

　　(3)
　　　　　
　　
　　其中　　表示由的第行与
　　第列的各交叉元素依次组成的行列式。

推论1　设是一个阶矩阵，则是一个可逆矩阵当且仅当的特征根都不为零。

性质1　若是矩阵的特征值，是的属于的特征向量，是一个多项式，则：

　　(1) 是的特征值，是的属于的特征向量，

　　(2) 是的特征值，是的属于的特征向量，是
　　　　任意正整数；

　　(3) 是的特征值，是的属于的特征向
　　　　量。

　　(4) 当可逆时，是的特征值，是的属于的特
　　　　征向量。

性质2　矩阵和的特征值相同

Answer 2