3道数论题

Question

1。请写出3个互不相同的整数,使得其中任意两个数的乘积能被其和整除。
2。已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，a、b中较大的数是多少？
3。1*3*5*...*995的末三位数是多少?
要过程！

Answer 1

1.【分析】 假如有三个数a b c ，其中任意两个数的乘积能被其和整除，也就是(a+b)/ab，(b+c)/bc ，(a+c)/ac ，可以发现ab 、bc 、ac 都是abc 的约数，于是abc 是 (a+b)、(b+c) 、(a+c) 的公倍数，由此想到要构造(a+b) 、(b+c) 、(a+c) 的公倍数．
先随意选取3个互不相同的数：1，2，3，由于其中任意两个数的和最小为3，最大为5，所以 肯定是这3个数中任意两个数的和的倍数，这样，构造3个整数：1*5 ， 2*5， 3*5，它们就是满足题意的一组数．
2.a-b=120
最大公约数是k
a=mk,b=nk
(m-n)k=120
mn=105=3*5*7
3*5*7-1不能整除120
3*5-7=8能整除120
3*7-5=16不能整除120
5*7-3=32不能整除120
所以,m=3*5=15,n=7
k=120/(m-n)=120/8=15
a=mk=15*15=225
b=nk=7*15=105

较大的数是225
3.【分析】 首先，由于要求末三位数字，可以仅考虑后三位数字，也就是考虑这个数除以1000的余数，
由于 ，而题中这个数肯定是125的倍数，那么如果能知道这个数除以8的余数，也就可以知道它除以1000的余数了．
由于这个数是奇数数列1，3，5，7，9，11，……，995的乘积，而9与1、11与3……除以8的余数相同，所以如果将这个数列每4个分为一组：(1，3，5，7)，(9，11，13，15)，……那么每组中的4个数的乘积除以8的余数是相同．由于1～995共有498个数，所以可以分成 组还剩下2个数．
第一组中4个数的乘积为 ，除以8的余数为1，所以每组中4个数的乘积除以8的乘积也都是1，这样124组数的总乘积除以8的余数也是1，最后剩下的两个数除以8的余数分别为1和3，乘积除以8的余数为3，所以 除以8的余数为3．
由于末三位是125的奇数倍，可能为125，375，625，875，它们除以8的余数分别为5、7、1、3，只有875除以8的余数为3，所以原题中乘积的末三位数字为875．

Answer 2

1.假如有三个数a b c ，其中任意两个数的乘积能被其和整除，也就是(a+b)/ab，(b+c)/bc ，(a+c)/ac ，可以发现ab 、bc 、ac 都是abc 的约数，于是abc 是 (a+b)、(b+c) 、(a+c) 的公倍数，由此想到要构造(a+b) 、(b+c) 、(a+c) 的公倍数．
先随意选取3个互不相同的数：1，2，3，由于其中任意两个数的和最小为3，最大为5，所以 肯定是这3个数中任意两个数的和的倍数，这样，构造3个整数：1*5 ， 2*5， 3*5，它们就是满足题意的一组数．

Answer 3

1，完全数；2，算了；995对应的是5^101，有5^101的未三位为125，那么有答案为875