单调函数的间断点为什么必是第一类间断点

Question

如题所述

Answer 1

应为单调有界函数必有极限.
例如,设函数y=f(x)在区间[a,b]上单调增加,在c∈(a,b)处间断,则f(x)在区间(a,c)单调增加,且f(x)<f(b),(x∈(a,c)).故f(c-0)存在,同理f(c+0)存在,因此c是第一类间断点.

Answer 2

不能说必然是第一类间断点，应该准确点，只能是跳跃间断点。因为但凡题设给你某函数在某有限开区间内单调之后，就已经说明该函数在该区间内每一点都有定义了，所以，绝对不可能是可去间断点，因为可去间断点只有两种可能，要么就是x0点无定义（这不可能）；要么就是f(x0)不等于x0的左右极限（这不符合题设区间内单调），故而只能是跳跃间断点。