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a满秩证明ab秩等于b的秩
矩阵A+
B的秩是
什么?
答:
若A中至少有一个r阶子式不
等于
零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则
A的秩为
r。由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为
满秩
矩阵, det(A)≠0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。由行列式的性质1(1.5[4])知,矩阵A的转置AT的秩与
A的秩是
一样...
B行
满秩
,则r(
AB
)=r(A)? 若正确,怎么
证明
?
答:
是的.可用方程组
证明
,证明转置后秩相等,即R(B'A')=r(A')首先,A'x=0的解一定
是B
'A'x=0的解其次,因为B'列
满秩
,所以B'y=0只有零解,所以由B'A'x=0得A'x=0的解,即B'A'x=0的解都是A'x=0的解.所以A'x=0与B'A'x=0同解,所以r(A')=r(B'A'),所以r(A)=r(
AB
)
设A
为
列
满秩
矩阵,
AB
=C,
证明B
x=0与Cx=0同解
答:
反之, 若X
是
CX = 0的解, 有ABX = CX = 0, 即Y = BX是AY = 0的解.而由A列
满秩
, AY = 0只有零解, 故BX = Y = 0, 即X也是BX = 0的解.综合两方面, BX = 0与CX = 0同解.还有一种方法:由A列满秩可得r(B) ≥ r(
AB
) ≥ r(A)+r(B)-n = r(B) (n表示
A的
列数...
r(a)+ r(b)<= n吗?
答:
关系: r(A)+r(B)<=n;推导过程如下:设
AB
= 0,
A是
mxn, B是nxs 矩阵;则
B 的
列向量都是 AX=0
的秩
;所以 r(B)<=n-r(A);所以 r(A)+r(B)<=n。
两个矩阵的乘积
为
非零 它们
的 秩
有什么关系
答:
关系: r(A)+r(B)<=n;推导过程如下:设
AB
= 0,
A是
mxn, B是nxs 矩阵;则
B 的
列向量都是 AX=0
的秩
;所以 r(B)<=n-r(A);所以 r(A)+r(B)<=n。
r(a)+ r(b)<= n吗?
答:
关系: r(A)+r(B)<=n;推导过程如下:设
AB
= 0,
A是
mxn, B是nxs 矩阵;则
B 的
列向量都是 AX=0
的秩
;所以 r(B)<=n-r(A);所以 r(A)+r(B)<=n。
怎么
证明
R(
AB
)>=R(A)+R(B)-N
答:
|O En|A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有:|
AB
A| |0 En| 右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有:|0 A | |-B En| 所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)即r(A)+r(B)-n<=r(AB)。解线性方程组 记线性方程组的系数矩阵为A,增广矩阵为...
线性代数方面的 为什么列
满秩
Ax=b 不一定有解? (
秩等于
未知数个数)
答:
A列
满秩
并不能保证
A的
列向量组可以表示向量
b
也就
是
说 r(A,b) 可能不
等于
r(A).如: A= 1 2 3 0 4 5 0 0 6 0 0 0 b= (0,0,0,1)^T
设A为m*n阶方阵,矩阵A
的秩
R(A)=3,矩阵B为n阶
满秩
阵,则R(
AB
)
等于
答:
因为
AA
*=|A|E=0,所以R(A*)+R(A)≤R(AA*)+4=4,因此,R(A*)≤4-3=1.①又因为R(A)=3,所以其三阶代数余子式至少有一个不为0,因此A*不为零,故R(A*)≥1.②由①②可得,R(A*)=1.故答案为1.
矩阵
的秩
在什么情况下
为
0
答:
矩阵
的秩等于
0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。参照定理:对于每个矩阵A,fA都是一个线性映射,同时,对每个的 线性映射f,都存在矩阵A使得 f= fA。也就是说,映射是一个同构映射。所以一个矩阵
A的秩
还可定义为fA的像的维度(像与核的讨论参见线性映射)。矩阵 A称为 fA的变换矩阵。这个定义...
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