第二题已知通解求微分方程怎么求

Question

如题所述

Answer 1

因为通解中只有一个任意常数，所以所求微分方程是一阶微分方程，一个一阶微分方程中一定要出现y的导数y'，所以求出y'，把其中的C消去即可得到微分方程。
(x+C)^2+y^2=1，两边求导得2(x+C)+2yy'=0。两个方程联立消去C得到微分方程：(yy')^2+y^2=1。追问

两个方程怎么联立

追答

由第二个方程求出x+c，代入第一个就可以了。

追问

8代入6中前半部分前半部分相减怎么来的

追答

y的导数是两个函数乘积的导数，其中第二个函数就是指数函数求导时，是个复合函数求导，其幂次的导数是-P(x)

追问

追答

y对x求导啊

追问

。。上头那个。。

追答

？？

追问

追答

du^3=-1/2d(1-2u^3),把1-2u^3看作一个整体V，相当于-1/2*1/vdV=-1/2d(lnV)，这就是不定积分的凑微分法

追问

把-1／2乘进去不等于u^3丫。怎么凑出来的

追答

如果换元，可能会清楚点，把1-2u^3换作X，则u^3=(1-X)/2，du^3=-1/2dX，所以有∫1/(1-2u^3)du^3=∫1/X(-1/2dX)=∫-1/2*1/XdX=-1/2lnX+C=-1/2ln|1-2u^3)+C。凑微分法熟练了以后，这种情形就可以很容易写出结果。

追问

追答

？

追问

。。圈起部分怎么来的

追答

看不清。貌似方程是伯努利方程，换元后就是线性微分方程，套用公式就是了

追问

。。最后的U怎么来的

追答

看第五行

追问

重根为什么就是ax+b,特解的一阶导数二阶导数怎么化成那种的，最后如何代成6ax+2b=3x的

追答

假设特解时这个没有多大技巧，按照书上给出的做法套用就是了。原自由项P(x)e^(λx)=是3xe^x，现在e的幂次中的常数λ=1是齐次方程的特征方程的重根，所以假设特解是x^k*Q(x)*e^(λx)，λ是重根时k=2，Q(x)与P(x)是同次多项式，现P(x)=x是一次的，Q(x)自然假设为ax+b了。
假设出特解后，求出特解的一阶、二阶导数，这时候没有多大难处，按部就班的求导就是了，代入原微分方程，整理后是左右两个多项式相等，比较系数。