同阶方阵A，B有相同的特征多项式，请问A与B是否相似

Question

如题所述

Answer 1

不一定。比如当A=
1
0
0
1
B=
1
1
0
1时，A、B的特征多项式都是（x-1）^2，但是A可对角化，而B不可对角化，A和B肯定是不相似的
一般判断A、B相似只能从定义出发，或者利用初等因子

Answer 2

即证明矩阵a与矩阵b有相同的特征值
设矩阵a有特征值λ，特征值λ对应的特征向量为向量x
则ax=λx
因为矩阵a与矩阵b相似
所以存在n阶可逆矩阵p，使得p^(-1)ap=b
在ax=λx两边同时左乘p^(-1)
p(-1)ax=p(-1)λx=λ[p(-1)x]
p(-1)ax=p(-1)app^(-1)x=b[p^(-1)x]=λ[p(-1)x]
所以矩阵b有特征值λ，特征值λ对应的特征向量为向量p(-1)x
特征值相同，特征多项式当然就相同了